Eratóstenes: medida del radio de La Tierra

Eratóstenes (Nacido en 276 a.C. en Cirene (Libia). Muere en 194 a.C. en Alejandría)

Como otros sabios de su época, no se conformó con una rama del saber: Fue astrónomo, geógrafo, historiador, literato y matemático. Llegó a dirigir la biblioteca de Alejandría.

Sus obras matemáticas más importantes son: el Platonicus, obra hoy perdida y que trataba sobre las matemáticas subyacentes en la obra del filósofo Platón; y obras geométricas (también perdidas hoy) como Sobre las medidas y De la medida de La Tierra. A pesar de estas pérdidas tan lamentables, gran parte de su obra es recogida y comentada por matemáticos de los siglos posteriores, por lo cual ha podido en parte llegar hasta nuestros días.

No sólo hizo progresos matemáticos en la rama de la geometría; a él se debe la «criba de Eratóstenes», un sistema para determinar números primos. Aparte de sus descubrimientos matemáticos, fue importante geógrafo y trazó un mapa del Nilo hasta Khartum, mostrando sus dos afluentes etíopes, y dando la primera explicación satisfactoria sobre las crecidas del Nilo. También exploró el actual Yemen. Diseñó un calendario con años bisiestos, compiló un pequeño catálogo estelar, etc. Como literato y filósofo, fue poeta y escribió tratados sobre Ética, algo muy del gusto griego…

Eratóstenes fue famoso sobre todo por ser el primero en calcular, en el s.III a.C., el radio de La Tierra. Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica (algo de lo que se dudó en siglos posteriores) y que el Sol se encuentra tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares llegan a la Tierra paralelos, Eratóstenes el día del solsticio de verano (21 de junio), a las doce de la mañana, midió, en Alejandría, con ayuda de una varilla colocada sobre el suelo, el ángulo de inclinación del Sol, que resultó ser 7,2°; es decir, 360º/50. Antes ya había comprobado que en la ciudad de Siena (actual Assuán, en que se construyó recientemente la gran presa de Assuán sobre el curso del río Nilo), en el mediodía del solsticio de verano los rayos del sol llegaban perpendicularmente, al observar que se podía ver el fondo de un pozo profundo. La distancia de Alejandría a Siena situada sobre el mismo meridiano era de 5000 estadios (1 estadio = 160 m). Entonces Eratóstenes pensó que dicha distancia sería igual a 1/50 de toda la circunferencia de la Tierra; por tanto, la circunferencia completa medía:

50 × 5.000 = 250.000 estadios = 250.000 × 160 m = 40.000 km

De donde el radio de la Tierra medía: R = 40.000 / 2π = 6.366,19 km.

Las actuales mediciones sobre el radio de la Tierra dan el valor de 6.378 km.

Eratóstenes dedujo que si lograba medir este ángulo, y por otro lado determinaba la distancia lineal entre Siena y Alejandría, podría estimar el radio de la Tierra. Bastaba con aplicar la ley de  «arcos de círculo relativos a ángulos iguales son semejantes»:

Según el historiador Cleomedes, para el cálculo del ángulo, Eratóstenes midió la sombra que el Sol proyectaba al mediodía del solsticio de verano, sobre un scaphium o gnomon.  Otros historiadores defienden que midió la sombra de una torre. En cualquier caso, el ángulo viene dado  por la expresión:

Sea como fuere, Eratóstenes obtuvo una medida para la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría de 1/50 parte de la circunferencia, es decir, unos 7º 12′.

Pero, para completar el cálculo necesitaba medir de la distancia lineal entre Siena y Alejandría, algo complicado en una época donde no había GPS. El método empleado depende de la fuente. En la mayoría de los casos se asegura que lo obtuvo de la distancia estimada por las caravanas de camellos que comerciaban entre ambas ciudades, aunque perfectamente pudo ser un dato que obtuvo de la propia biblioteca de Alejandría. En cualquier caso, estimó una distancia de 5000 “estadios”.

¿Y que es un “estadio”?. Pues una medida de longitud de la época, que como era habitual, su valor depende de quién lo definiera. Por ejemplo, los estadios egipcios eran de 157 metros, mientras que para los griegos eran de unos 174m.

Independientemente de esto, Eratóstenes obtuvo un valor para el radio de la circunferencia terrestre de unos 252000 estadios. Dependiendo del valor que se le dé finalmente a la unidad “estadio”, el resultado puede ser de una asombrosa precisión, incluso con un error menor del 1%, o algo menos exacto, con cerca de un 16% de error (el valor actual del radio medio de la Tierra es de 6371 Km.).

En cualquier caso el método empleado por Eratóstenes es un alarde ingenio y de sencillez, y una extraordinaria aplicación del método científico.